J. Fadili : Eclatement d'opérateurs monotones à métrique variable
Les méthodes d'éclatement d'opérateurs monotones maximaux se sont avérées particulièrement précieux dans de nombreux domaines, notamment pour les problèmes de minimisation convexe non-lisse de grande taille omniprésents en traitement du signal et des images (on parle alors souvent d'algorithmes de décomposition proximale). Ces méthodes jouissent de nombreuses garanties de convergence, mais la mise en jeu de la seule information du premier ordre (implicite ou explicite) impose une limite sur leur vitesse de convergence (quand elle est disponible).
A l'instar des méthodes à métrique variable en optimisation lisse, nous proposons dans cet exposé une extension de ce cadre aux algorithmes d'éclatement d'opérateurs monotones. Je présenterai le cadre général et établirai plusieurs propriétés et résultats importants. En particulier, je m'attacherai au calcul des résolvantes des opérateurs monotones dans la nouvelle métrique. Dans le cas de la sous-différentielle d'une fonction propre, semi-continue inférieurement et convexe, et pour des métriques à la quasi-Newton, un résultat donnera une forme explicite de l'opérateur proximal dans la nouvelle métrique en fonction de celui de la métrique isotrope. On montrera que pour une grande classe de fonctions dites simples (i.e. opérateur proximal s'exprimant explicitement), le calcul de l'opérateur proximal dans la nouvelle métrique est (presque) tout aussi simple.
Dans une seconde partie de cet exposé, ce cadre sera appliqué à l'accélération de l'algorithme explicite-implicite. De premiers résultats de convergence seront aussi donnés. Plusieurs résultats expérimentaux illustreront les performances de la méthode qui se compare très favorablement aux méthodes de l'état de l'art. Je conclurai sur les développement futurs et les nombreuses applications potentielles pour d'autres algorithmes de décomposition proximale.