Une dichotomie claire apparaît: soit est très petit, soit a beaucoup de structure algébrique. On montre que, si occupe un petit nombre de classes de congruence modulo pour beaucoup de nombres premiers , alors soit contient moins de éléments, soit la plupart des éléments de appartiennent à une courbe algébrique de degré . On conjecture des choses similaires pour , .
Dans la preuve, on combine des idées du ``crible majeur'' de Gallaguer et du travail de Bombieri et Pila. Toutes les techniques utilisées sont élémentaires.
Il s'agit d'un travail en collaboration avec A. Venkatesh.