Le problème de Galois inverse pour les groupes de Weyl est résolu depuis longtemps, et de manière relativement simple, du point de vue théorique, mais la construction d'exemples concrets de polynômes entiers ayant un tel groupe de Galois peut être assez délicate. Dans le cas des groupes de Weyl de certains groupes de Lie exceptionnels, Shioda a donné des constructions élégantes provenant de la géométrie arithmétique. Le cas du groupe $E_8$ est le plus complexe, et, après une présentation du problème, l'exposé présentera une solution basée plus directement sur la structure des groupes algébriques (à laquelle elle peut servir d'introduction agréable), où l'idée principale a été suggérée par les propriétés des marches au hasard sur les groupes et du grand crible. L'exemple explicite qui sera donné dépendant de calculs informatiques, il sera expliqué également pourquoi il est raisonnable de croire que le polynôme obtenu, de degré 240, a bien la propriété annoncée. (Travail en commun avec F. Jouve et D. Zywina)