Soient un nombre premier, le corps des nombres -adiques, une extension finie de , une clôture algébrique et la complétion de . Dans sa preuve du théorème d'Ax-Sen-Tate, que je rappellerai, Ax montre que si élément de vérifie pour tout dans le groupe de Galois absolu de noté alors il existe dans tel que
, où est la constante . Ax s'interroge sur l'optimalité de cette constante, je répondrai à cette question en utilisant l'extension de par les racines -èmes de l'uniformisante, et en m'appuyant sur les idées que Tate a développées dans sa démonstration du théorème d'Ax-Sen-Tate. Je montrerai comment cette étude donne des résultats plus précis sur les éléments de vérifiant l'hypothèse du théorème d'Ax, qui permettent de décrire assez précisément
.