Il en résulte une majoration de l'indice pour tout sous-réseau de Minkowski de . Soit l'annulateur de . Dans un travail récent avec Achill SCHÜRMANN, nous avons obtenu la classification en dimension des codes sur provenant d'un tel quotient, étendant les résultats connus jusqu'à la dimension (ce séminaire, 23 janvier 1998).
Nous en avons déduit la solution du problème de Louis Michel : un réseau engendré par ses vecteurs minimaux posséde-t-il une base de vecteurs minimaux ? La réponse est toujours oui si , mais non au-delà. (Contre-exemple antérieur de Conway et Sloane pour ).
Par ailleurs, je donnerai les majorations optimales des quotients
des produits sur et pour ,
améliorant un travail ancien de van der Waerden
(Acta Math., 1956).