Soient un corps, et une -algèbre de dimension finie sur . Soit le groupe algébrique , dont les -points sont les éléments
inversibles de . Soit un entier naturel. Le groupe agit
naturellement, par multiplication à gauche, sur la grassmannienne
des -sous espaces vectoriels de . Sous certaines hypothèses sur
(satisfaites si est étale), nous construisons explicitement un
isomorphisme birationnel -équivariant entre et le produit de
par un espace affine. De nombreux corollaires s'en déduisent
alors par torsion, liés à la conjecture d'Amitsur. Par exemple, si et
sont deux -algèbres simples centrales de degrés premiers entre eux, alors
la variété de Severi-Brauer
est birationnelle au produit de
par un espace affine de dimension convenable. Jusqu'à
présent, il était seulement connu que ces deux variétés sont stablement
birationnelles.