Soit un anneau de valuation discrète complet, à corps résiduel algébriquement clos de caractéristique , à corps des fractions , et soit
une uniformisante de . Notons
, avec le point fermé. Soit une courbe elliptique sur , et notons son -modèle de Néron,
sa composante neutre. Donnons-nous par ailleurs un torseur sous d'ordre , et soit le -modèle propre minimal régulier de . En général, n'est pas cohomologiquement plat, et son foncteur de Picard
n'est pas représentable, même par un espace algébrique en général. C'est connu qu'il existe un épimorphisme (pour la topologie fppf) de foncteurs en groupes naturel
qui prolonge l'isomorphisme de bidualité sur la fibre générique. De plus, le pgcd des multiplicités des composantes irréductibles de est . Il existe donc un faisceau inversible d'idéaux de tel que
. Dans cet exposé, on va étudier les faisceaux inversibles sur en relation avec la filtration -adique, et ensuite montrer que le morphisme ci-dessus est compatible avec la filtration -adique sur
, et la filtration -adique sur . Tout ceci se dit agréablement sur les réalisations de Greenberg de
et . Cette étude conduit aussi aux fonctions de Herbrand, similaires à celles rencontrées par Serre dans sa description du corps de classes local.