Soit une forme modulaire de poids et niveau donnés sur un corps de
nombres. Pour tout entier positif , soit le -ième coefficient
du -développement de . On sait que est déterminée par les
coefficients
, avec suffisamment grand. Il est
naturel de se poser la question si, étant donnés
et
un entier positif , on peut calculer « rapidement » .
J.-M. Couveignes, S. J. Edixhoven et al. ont récemment développé un
algorithme pour résoudre ce probleme pour les formes de niveau 1. La
méthode est basée sur le calcul de représentations modulaires de
dimension 2 du groupe de Galois absolu de Q sur des corps
finis. J'expliquerai cet algorithme, ainsi qu'une généralisation aux
formes de plus haut niveau qui est donnée dans ma thèse. Je donnerai une
application au problème suivant : pour et entiers, avec pair, quel
est le nombre de représentations de comme somme de carrés ?