La maille d'un graphe est définie comme la plus petite taille d'un cycle
dans ce dernier. Une vieille question en théorie des graphes consiste
à étudier quelle est la plus grande maille possible pour un graphe
-régulier (c'est à dire un graphe où chaque sommet comporte
arêtes) et à proposer des familles de graphe atteignant la borne.
La meilleure borne supérieure sur la maille est de l'ordre de
quand le nombre de sommets tend vers l'infini. De nombreuses constructions
atteignant une maille de taille logarithmique en le nombre de sommets ont été proposées
par le passé. La construction la plus célèbre est sans nul doute une construction arithmétique
fondée sur les propriétés de factorisation des quaternions due à Margulis, Lubotzky, Philips et Sarnak
datant de la deuxième partie des années 1980. De manière remarquable, cette construction a aussi fourni la première famille infinie de graphes
-réguliers qui soit de Ramanujan (c'est une propriété remarquable portant sur le spectre du graphe).
La maille de cette famille est de l'ordre de
et c'était jusqu'à présent la meilleure construction
connue pour la propriété de maille. Nous nous inspirons de cette construction fondée sur les quaternions pour
proposer une nouvelle construction à base d'octonions dont la maille est de l'ordre de
nous rapprochant ainsi un peu plus de la borne supérieure susmentionnée.
Nous montrons aussi, comme dans le cas de la construction à base de quaternions, que cette nouvelle
famille est aussi de Ramanujan par un argument de comptage du nombre de solutions d'une certaine
équation diophantienne quadratique.
travail effectué en commun avec Xavier Dahan