Les systèmes d'Euler ont été introduits au début des années 90.
Étant donné une extension abélienne finie de corps globaux ,
ils permettent dans certains cas de comparer les structures du module galoisien des -classes
et du module galoisien des unités modulo unités de Stark .
Dans le cas où est un corps de fonctions de caractéristique , ou dans le cas où est quadratique imaginaire, nous étendons la méthode développée par K.Rubin.
Nous montrons que si (dans le cas des corps de fonctions, on suppose aussi ), alors pour tout
(sauf les caractères -conjugués au caractère de Teichmuller dans un cas pathologique )
-caractère irréductible on a égalité des cardinaux des -parties,
Dans le cas où est quadratique imaginaire, et où le nombre premier
est décomposé dans , on note l'unique -extension de non ramifiée en dehors de .
On considère une extension de , abélienne sur .
Inspiré par les travaux de K.Rubin et W.Bley, nous montrons que pour tout -caractère irréductible du sous-groupe de torsion de
,
on a égalité des idéaux caractéristiques des -quotients,