A une variété abélienne principalement polarisée de trace $t$ sur $F_q$ et qui est géométriquement la jacobienne d'une courbe non-hyperelliptique, on peut associer une courbe sur $F_q$ de trace $t$ ou (exclusif) de trace $-t$. Si on note

$N_{q,g}(t)=\char93 \{$classes d'isomorphismes des courbes de genre $g$ et de trace $t$ sur $F_q\}$

la différence $V_{q,g}(t)=N_{q,g}(t)-N_{q,g}(-t)$ quantifie le phénomène précédent.

Je donnerai dans cet exposé les premières évidences qu'en genre 3, $V_{q,g}(t)$ semble être gouvernée par une fonction bien précise.

Travail en commun avec Reynald Lercier, Florent Rovetta, Jeroen Sijsling et Ben Smith