Pour $${\chi}$$ un caractère de Dirichlet modulo $q$, on définit sa fonction thêta associée

$$\theta(x,\chi):=\sum_{n\geq 1}\chi(n)e^{-\frac{\pi n^2x}{q}}.$$

Elle intervient habituellement dans la preuve de l'équation fonctionnelle de $${L(s,\chi)}$$. Le calcul de l'asymptotique des moments des fonctions $L$ est un problème classique de théorie analytique des nombres étudié notamment afin de montrer que $${L(1/2,\chi)\neq 0}$$ pour "beaucoup" de caractères. Il est conjecturé de façon analogue que $${\theta(1,\chi)\neq 0}$$. De rares contre-exemples ont été découverts par H. Cohen et D. Zagier mais la conjecture reste ouverte dans le cas d'un module premier. On étudie les moments des fonctions thêta dans deux familles de caractères :

1. Les caractères modulo $p$ un nombre premier.
2. Les caractères réels primitifs de conducteur $${0 < D \leq X}$$.

Cela nous permet d'en déduire des résultats de non-annulation pour la fonction thêta allant dans le sens de la conjecture.