Foncteurs à réciprocité et les $K$-groupes associés

Une notion de foncteurs à réciprocité a été introduite en 1991 par B. Kahn suite aux généralisations de la $K$-théorie de Milnor développées par M. Somekawa pour les groupes algébriques commutatifs. Le but de B. Kahn était de s'inspirer des symboles locaux pour les groupes algébriques commutatifs lisses, construits par M. Rosenlicht et J.-P. Serre, et des lois de réciprocité qu'ils satisfont, pour développer une théorie contenant à la fois les groupes algébriques commutatifs lisses et les faisceaux invariants par homotopie avec transferts de V. Voevodsky.

Soit $k$ un corps parfait. Dans cet exposé, nous introduisons les foncteurs à réciprocité, vu comme des foncteurs définis sur les extensions de type fini de $k$ et les courbes régulières sur de telles extensions, et prolongeons les travaux initiaux de B. Kahn pour ces foncteurs en associant à une famille finie de foncteurs à réciprocité un "produit tensoriel", nouveau foncteur à réciprocité dont la valeur en $k$ généralise les groupes de $K$-théorie introduits par Somekawa et les variantes de Raskind-Spiess et Akhtar. Les groupes algébriques commutatifs, les faisceaux Nisnevich avec transferts invariants par homotopie, les modules de cycles ou les différentielles de Kähler fournissent des exemples particuliers de foncteurs à réciprocité et nous calculons les "produits tensoriels" associés à un certain nombre de ces exemples et faisons le lien avec les constructions antérieures. Tout comme les groupes algébriques, les foncteurs à réciprocité sont munis de symboles satisfaisant une loi de réciprocité pour les courbes.