Le calcul des fonctions zêta de Weil d'une variété algébrique sur un corps fini de caractéristique permet d'obtenir des applications cryptographiques. Nous rappellerons leurs différentes interprétations cohomologiques via des méthodes -adiques ( est un premier différent de ) ou -adiques (i.e., on travaille sur ou ).
Ces fonctions se généralisent de multiples façons en considérant en plus de
la variété , un objet (e.g. -faisceaux constructibles,
-cristaux, -isocristaux, -complexes de -modules arithmétiques)
vivant sur . On définit ainsi des fonctions associées à (la
fonction du coefficient «constant» redonne la fonction zeta de Weil).
Afin d'obtenir une bonne cohomologie -adique sur , i.e., satisfaisant
toutes les conditions requises pour devenir une «cohomologie de Weil»,
l'idée de Berthelot fut de construire une théorie arithmétique des
-modules. Nous donnerons une formule cohomologique des fonctions
associées aux -complexes de -modules arithmétiques. Nous
expliquerons comment cela résulte ou s'inspire des précédentes
interprétations cohomologiques.