Dans cet exposé, nous nous intéressons à la cyclicité de certaines fonctions pour le shift adjoint $S^*$ et à décrire les sous-espaces $S^*$-invariants engendrés par ces fonctions dans $H^2(D^n,\, X)$, où $X$ est un espace de Hilbert séparable et pour le semi-groupe de translations à gauche dans $L^2(R_+, X)$ lorsque $dim X< \infty$. Cette approche se fera grâce à la propriété de lacunarité des spectres de Fourier ou des supports des fonctions envisagées selon le cas. Dans un premier temps, nous introduirons le sujet et les différents outils utilisés. Nous rappellerons les résultats importants précédemment obtenus. Puis suivra un aperçu des questions abordés dans le cadre de ma thèse et ma modeste contribution au domaine.