L'objectif est d'exposer une méthode géométrique permettant de démontrer l'existence globale en temps de solutions au problème de Cauchy : $\sqcap\!\!\!\!\!\sqcup u = c \vert u\vert^3$ pour des conditions initiales peu régulières.La première étape consistera à donner une représentation de $\mathbb{R}^4$ qui transforme le problème de Cauchy global en un problème de Cauchy en temps fini. On s'intéressera ensuite à l'existence en temps court de solutions au problème de Cauchy pour l'équation $\sqcap\!\!\!\!\!\sqcup u + au = b \vert u\vert^3$ sur un espace-temps de type $\mathbb{R} \times V$. Le problème initial sera résolu dans la dernière partie en transposant le problème de Cauchy sur $\mathbb{R}^4$ dans le cadre géométrique étudié dans la deuxième partie.