On démontre la formule suivante
$\int_{\R^N}u\vert u\vert^{p-2} \Delta u=-(p-1) \int_{\R^N}\vert u\vert^{p-2}\vert \nabla u\vert^2$ pour des fonctions $u$ en $W^{2,p}(R^N)$. Cette formule est une conséquence de la formule d'intégration par parties pour $p \ge 2$. Cependant, pour $1<p<2$, il y a des problèmes parce qu'il y a une singularité dans le deuxième membre quand $u=0$. On peut voir que cette formule est aussi vraie dans le cas critique mais pour la démontrer il faut utiliser un théorème de caractérisation par sections des espaces de Sobolev.

Cette égalité peut être employée pour démontrer certains résultats de génération de semigroupes analytiques.