Soient $H$ et $H_{0}$ deux opérateurs auto-adjoints. On suppose qu'il existe $k\in \mathbf{N}$ tel que

$$(H + i)^{-k} - (H_{0} + i)^{-k}$$

est de classe trace. Alors il existe une distribution $\xi \in D(\mathbb{R})$ telle que

$$tr(f(H) - f(H_{0})) =-<\xi'(.),f>;f\in C_{0}^{\infty}(\mathbb{R})$$

Cette fonction $\xi$ est la fonction de décalage spectral introduite par M.G. Krein, elle est très utilisée en théorie spectrale en présence de spectre continu. Cette fonction $\xi$ peut $\^{e}$tre vue comme une version régularisée de la fonction de comptage des valeurs propres. Dans le cadre de la diffusion pour le laplacien $(H_{0} = -\Delta, H = -\Delta+W)$, l'asymptotique de la fonction de décalage spectral à haute énergie a été obtenue par plusieurs auteurs. Beaucoup d'autres problèmes sont complètements ouverts, surtout dans les hamiltoniens périodiques, $(H_{0}=-\Delta + V,H = H_{0} +W)$, o$\\lq {u}$ V est un potentiel périodique. Je commencerai dans un premier temps par définir quelques notions de l'analyse spectrale; puis, dans une deuxième partie la formule de Helffer-Sjöstrand et enfin le développement asymptotique à haute énergie de l'opérateur de Schrödinger perturbé.