On s'intéresse au spectre des opérateurs de Schrödinger $H=-\Delta+V$ dans $L_2(\mathbb{R}^3)$ ou de l'opérateur de Dirac $D=D_m+V$ dans $L_2(\mathbb{R}^3, \mathbb{C}^4)$ où $D_mf=\displaystyle\sum_{k=1}^3 \alpha_k\partial_kf+m\beta f, \mbox{ avec } \alpha_k,\beta \in \mathcal{M}_4(\mathbb{C})$ vérifiant certaines conditions et $V \in L_p(\mathbb{R}^3)$. On sait, par le théorème de Weyl, que $\sigma_{\rm {ess}}(H)=\sigma_{\rm {ess}}(-\Delta)=[0,+\infty[$ et que $\sigma_{\rm {ess}}(D)=\sigma_{\rm {ess}}(D_m)=]-\infty,m]\cup[m,+\infty[$. Donc il nous reste à trouver des informations concernant le spectre discret de ces opérateurs.

Pour cela, l'outil utilisé est le déterminant perturbé et on l'exploite à l'aide du théorème de Borichev, Golinskii, Kupin. Dans ce premier exposé, nous nous intéresserons à la partie analyse complexe qui tourne autour de ces outils (transformations conformes, calculs de distorsions et calcul de norme de la résolvente). Dans le prochain, ce sera la partie théorie spectrale (déterminant perturbé).