On s'intéresse au spectre des opérateurs de Schrödinger $H=-\Delta+V$ dans $L_2(\mathbb{R}^3)$ ou de l'opérateur de Dirac $D=D_m+V$ dans $L_2(\mathbb{R}^3, \mathbb{C}^4)$ où $D_mf=\displaystyle\sum_{k=1}^3 \alpha_k\partial_kf+m\beta f, \mbox{ avec } \alpha_k,\beta \in \mathcal{M}_4(\mathbb{C})$ vérifiant certaines conditions et $V \in L_p(\mathbb{R}^3)$. On sait, par le théorème de Weyl, que $\sigma_{\rm {ess}}(H)=\sigma_{\rm {ess}}(-\Delta)=[0,+\infty[$ et que $\sigma_{\rm {ess}}(D)=\sigma_{\rm {ess}}(D_m)=]-\infty,m]\cup[m,+\infty[$. Donc il nous reste à trouver des informations concernant le spectre discret de ces opérateurs.

Pour cela, l'outil utilisé est le déterminant perturbé et on l'exploite à l'aide du théorème de Borichev, Golinskii, Kupin. La fois précédante, nous nous sommes intéressés à la partie analyse complexe qui tourne autour de ces outils (transformations conformes, calculs de distorsions). Cette fois-ci, ce sera la partie théorie spectrale (autour du déterminant perturbé régularisé).