Polynômes orthogonaux et diffusions.

Dominique Bakry

Institut de Mathématiques de Toulouse

En probabilité, on s'intéresse aux processus de diffusion, qui sont des processus aléatoires régis par des opérateurs différentiels du second ordre, de la forme $$\displaystyle{L(f)(x)= \sum_{ij} a^{ij} (x) \frac{\partial^2 ... ...\partial x_j} + \sum_i b_i(x) \frac{\partial f}{\partial x_i}.}$$

Les cas les plus faciles à étudier, tant du point de vue de l'analyse que du point de vue probabiliste, sont ceux où cet opérateur se diagonalise dans une base de polynômes orthogonaux. En dimension 1, il n'y a pas beaucoup d'exemples : il s'agit essentiellement des polynômes de Jacobi, de Laguerre et de Hermite. Le premier exemple a comme espace d'état un intervalle borné, le second $[0, \infty)$ et le troisième $\mathbb R$ tout entier.

En dimension plus grande, la situation est plus riche. En dimension 2, pour les domaines compacts (qui correspondent aux polynômes de Jacobi de la dimension 1), il y a exactement 10 familles, à transformation affine près. Ces domaines sont tous des domaines dont le bord est défini par des équations algébriques de degré au plus 4. Chacun d'entre eux correspond en fait à des modèles géométriques qui peuvent être assez simples (groupes de symétrie d'un espace affine, systèmes de racines), ou plus sophistiqués (provenant par exemple de matrices aléatoires, ou de la fibration de Hopf). Certains modèles ne sont d'ailleurs pas encore entièrement compris.

La classification en dimension supérieure reste à faire, et on ne dispose alors que d'exemples.

On montrera comment on arrive à une telle classification (la formalisation du problème est très simple, même si la solution du problème requiert des outils un peu sophistiqués), et sur certains exemples on parlera des modèles géométriques dont ils proviennent.