Avec le développement de la modélisation en biologie, épidémiologie, écologie, dynamique des populations, évolution des espèces, etc..., les modèles mathématiques prenant en compte le couplage des phénomènes de réaction (genre réaction chimique) et de diffusion spatiale, connaissent un vif regain d'intérêt et apportent toute une panoplie de nouvelles questions mathématiques.

Dans ses travaux sur la morphogenèse, A. Turing avait remarqué dès 1950, dans un article célèbre, que l'apport de diffusion dans un processus réactif stable pouvait le déstabiliser (mais du même coup enrichir considérablement son comportement). Il faut pour cela que les diffusions soient distinctes et c'est leur différence qui crée l'instabilité. Les mêmes questions se posent pour l'existence globale en temps de solutions : est-ce que l'ajout de diffusions distinctes peut la détruire ?

Ceci conduit pour les systèmes de réaction-diffusion à de jolis problèmes d'existence globale qui ne sont pas encore entièrement compris aujourd'hui. Leur étude oblige à sortir du cadre $L_\infty$ traditionnellement adopté pour ces systèmes et à jouer avec des approches $L_p$ , $L_1$ ou, curieusement $L_2$.

Ces outils permettent aussi d?attaquer les questions importantes de perturbations singulières pour prendre en compte les grandes variations dans les échelles caractéristiques. Les comportements limites conduisent souvent à des diffusions croisées qui constituent un domaine de recherche très actif.

Nous donnerons un aperçu de plusieurs de ces questions dans cet exposé.