Théorie des fonctions et opérateurs de composition compacts, par Hervé Queffélec.

L'exposé s'appuiera sur plusieurs travaux en collaboration avec P.Lefèvre, D.Li, L. Rodriguez-Piazza. À une application holomorphe $\varphi$ du disque unité $D$ dans lui-même est associé un opérateur (dit de composition) $C_\varphi : H^2 \rightarrow H^2$ (où $H^2$ est l'espace de Hardy) défini par

$$C_\varphi (f) = f\circ \varphi.$$

L'interaction entre les propriétés géométriques ou analytiques de la fonction $\varphi$ et les propriétés de l'opérateur $C_\varphi$ (mesurées par exemple par la suite $(a_n)$ de ses nombres d'approximation) a des aspects fascinants, pas encore tous explorés. Par exemple, si $C_\varphi$ est compact, $\varphi$ a un point fixe, vers lequel convergent les itérées de $\varphi$. Et des itérées renormalisées convergent vers une fonction propre de $C_\varphi$ (théorème de König). Cela a permis de déterminer le spectre de cet opérateur et de montrer que les $a_n$ ne sont jamais très petits.

De façon plus spécifique, voici deux résultats obtenus récemment:

1. Si l'image de $\varphi$ (injective) contient un secteur de sommet sur le cercle, alors $a_n$ est assez grand;

2. Si l'image de $\varphi$ est contenue dans un polygone de sommets sur le cercle, alors $a_n$ est assez petit.

Nous essaierons d'explorer quelques aspects de cette interaction. En particulier, nous montrerons comment la considération des $a_n$ permet de donner une version améliorée (et optimale) d'un résultat récent de Elfallah-Kellay-Shabankhah-Youssfi sur le temps de séjour au bord d'un symbole compact. Le cas de l'espace de Dirichlet au lieu de l'espace de Hardy sera aussi évoqué en fin d'exposé.