Conférence dédiée à Shreeram Shankar Abhyankar, 1930-2012.
Travail en commun avec Olivier Piltant.
Theorem 1. (Cossart-Piltant) Let be an integral Noetherian curve which is excellent and be a reduced and separated scheme of finite type and dimension at most three.
There exists a proper birational morphism
with the following properties:
If furthermore
is quasi-projective, one may furthermore take projective.
Par une réduction "à la Abhyankar" [1], le théorème ci-dessus est une conséquence du théorème suivant :
Theorem 2. (Cossart-Piltant) Let be an excellent regular local ring of dimension three, quotient field and residue characteristic
. Let
(1)
Le cas (ii) est déjà résolu [2]. Dans cet exposé, nous allons expliciter le cas (i) à l'aide de la théorie des polyèdres d'Hironaka et des gradués associés : si le discriminant de est monomial, les formes initiales de pour les valuations correspondant aux faces du polyèdre sont alors d'Artin-Schreier ou purement inséparables. C'est le point clef de notre preuve.
La preuve complète du théorème de désingularisation sera exposée du 1 au 11 octobre à Ratisbonne.
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