Dynamique des feuilletages par Surfaces de Riemann.

Nessim Sibony

Résumé Considérons l'équation differentielle dans $\mathbb{C}^2$

$$\frac{dz}{dt}=P(z,w), \frac{dw}{dt}=Q(z,w).$$ (1)

Les polynômes $P$ et $Q$ sont holomorphes et le temps complexe.

Pour étudier le comportement global des solutions il vaut mieux se placer dans le plan projectif $P^2$. Il y a toujours des points singuliers. Leur nature joue un grand rôle. Quand la droite à l'infini est invariante, Il'yashenko a montré que génériquement les feuilles sont denses, cela résulte de l'étude de l'holonomie autour de la droite à l'infini. Mais génériquement sur les feuilletages, Jouanolou a montré qu'il n'y avait pas de variété algébrique invariante.

Il faut introduire d'autres techniques pour analyser le comportement global des feuilles et leur distribution. Je discuterai des variantes du théorème ergodique de Birkhoff dans ce cadre. Si le temps le permet je mentionnerai une notion d'entropie pour ces systèmes dynamiques.

Il s'agit de travaux en collaboration avec J.E Fornaess d'une part et T.C Dinh, V.A Nguyen d'autre part.