Résumé

On s'intéresse à la classification des $d$-tissus ${\cal W}(d)$ du plan, c'est-à-dire la donné locale dans ${\bb C}^2$ ou globale dans ${\bb P}^2:={\bb P}^2({\bb C})$ de $d$ feuilletages en position générale. Les feuilles d'un tel ${\cal W}(d)$ sont implicitement les courbes intégrales d'une équation différentielle analytique ou algébrique non linéaire $F(x,y,y')=0$, polynomiale en $y'$ de degré $d$. Le rang du système local des relations abéliennes du tissu ${\cal W}(d)$ est un invariant de borne optimale $\pi_d:={1\over 2}(d-1)(d-2)$ d'après le théorème d'addition d'Abel. Ces relations, en rang maximal avec $d\geq 4$, déterminent un morphisme ${\goth u}:({\bb C}^2,0)\longrightarrow \check{\bb P}^{ \pi_d-1}$ associé à ${\cal W}(d)$ qui paramètre une surface projective, transcendante en général, dont on présentera des propriétés et le cas où $\goth u$ est de Veronese. Inversement certains $f:({\bb C}^2,0)\longrightarrow \check{\bb P}^{ \pi_d-1}$, à osculation maximale, engendrent des $d$-tissus ${\cal W}_f(d)$ dont les feuilles correspondent sur la surface induite $S_f$ à des $(d-4)$-courbes principales qu'on définira. On caractérisera, à l'aide de la seule courbure de Blaschke généralisée, les ${\cal W}_f(d)$ dont le rang est maximal. Dans le cadre algébrique avec par exemple $d=5$, la correspondance qui précède fait apparaître des surfaces rationnelles $S_f\subset \check{\bb P}^5$ ayant des hypersurfaces duales $\check S_f\subset {\bb P}^5$ spécifiques dont on motivera l'étude.