Nous nous intéressons à une classe de modèles de mouvements de foules en situation d'évacuation d'urgence basés sur les considérations suivantes : chaque personne souhaite optimiser sa propre trajectoire (en clair : sortir au plus vite du bâtiment), mais, dans le cas de situations congestionnées, le mouvement est contraint par le simple fait que deux personnes ne peuvent pas être au même endroit au même moment. Nous présenterons une mise en équation microscopique de ces principes, où chaque personne est identifée à un disque rigide, et la vitesse effective instantanée est la projection du déplacement souhaité sur l'ensemble des vitesses admissibles, qui ne conduisent pas à un chevauchement des individus (thèse de Juliette Venel). Le cadre théorique tout comme la simulation numérique sont basés sur un principe de "rattrapage" (catching-up en anglais), c'est à dire à un schéma de discrétisation en temps de type prédiction-correction, ou la correction est une étape de projection sur l'ensemble admissible.

Nous proposerons ensuite une version macroscopique du modèle : la population est alors décrite par une densité assujettie à rester inférieure à une valeur fixée (thèse de Aude Roudneff-Chupin, en cours, travail en collaboration avec Filippo Santambrogio). La régularité de la vitesse effective n'étant pas contrôlée, les résultats classiques sur l'équation de transport d'une densité ne sont pas applicables, et le principe de rattrapage n'a aucun sens dans le cadre d'une description eulerienne. Nous montrerons comment la distance de Wasserstein sur les mesures (distance entre mesures définie par le biais du transport optimal) permet une utilisation féconde du principe de rattrapage, et suggère des schémas pour la simulation numérique de ces phénomènes.