Patrick Le Tallec, Gauthier Folzan, Jean Philippe Perlat
De nombreux problèmes en hydrodynamique ou en dynamique des structures impliquent des milieux multiples très déformables pour lesquels les formulations par éléments finis sur géométrie lagrangienne se révèlent inadaptées. Dans ce cadre, les méthodes de calcul travaillant sur un maillage unique ne suivant pas les différents milieux dans leur mouvement deviennent attractives. Leur développement se heurte à de nombreux problèmes théoriques et pratiques de suivi d'interface et d'approximation de champs de vitesse.
Le travail présenté introduit une stratégie de calcul originale fondée sur la notion d'éléments finis enrichis de très bas degré. Il utilise un champ de vitesse par matériau, défini sur un maillage unique. Les champs de vitesses se recouvrent et ne se recollent pas aux interfaces. La contrainte de continuité des vitesses normales est traitée au sens faible par éléments mortiers définis sur chaque cellule du maillage. La mise en oeuvre de cette technique nécessite de surmonter trois problèmes d'analyse numérique :
- le suivi et la reconstruction d'interface. Notre approche utilise la reconstruction de Youngs classique, qui reconstruit l'interface à chaque pas de temps à partir du gradient de fraction volumique locale des matériaux,
- l'utilisation d'éléments finis en vitesse qui permettent de vérifier en moyenne par cellule de manière stable (au sens inf sup du terme) la contrainte de continuité normale des vitesses . Ceci nécessite d'introduire de manière dynamique des noeuds supplémentaires au centre des cellules contenant une interface. Cette technique de stabilisation couplée à l'utilisation d'éléments finis P1 Lagrange dans les triangles ainsi construit est équivalente à une stabilisation à la Nitsche, et permet de prendre en compte des lois d'état très complexes dans le calcul de la densité.
- la mise en oeuvre d'un traitement approprié des termes d'accélération de manière à faire disparaître les termes de masse sur l'interface de contact, en suivant en ce sens une stratégie proposée par Khenous, Laborde et Renard.
Ce choix exige d'équilibrer au sens statique les noeuds supplémentaires à chaque pas de temps, ce qui conduit à un problème d'interface couplant tous les éléments intersectant une interface donnée. Il conduit par contre à des schémas en temps beaucoup plus stables en présence de contact, et évite de devoir introduire un champ de vitesse initiale sur les noeuds de stabilisation. La méthode sera décrite durant l'exposé, et illustrée sur quelques calculs bidimensionnels difficiles.