Le sujet principal de cet exposé sera la dynamique de l'équation des ondes amorties

$$u_{tt}+\gamma(x)u_t=\Delta u +f(x,u) ~.$$

En temps grand, on s'attend à ce que les solutions se stabilisent vers un point d'équilibre (dynamique dite "de type gradient") et que la dynamique se dissipe vers celle d'un attracteur global compact. Ce type de comportement dépend bien sûr des hypothèses sur la non-linéarité $f$ et sur la dissipation $\gamma$. Dans cet exposé, nous montrons qu'on peut se contenter d'hypothèses géométriques très naturelles sur l'amortissement, à condition de supposer $f$ analytique. Nous verrons aussi comment utiliser la description dynamique globale obtenue pour contrôler l'équation des ondes semi-linéaire. Ces résultats sont issus de travaux en collaboration avec Camille Laurent.