Workshop « Physique Mathématique et Analyse Non Linéaire »

Dates : jeudi 12 et vendredi 13 septembre 2013

Lieu : salle de conférence de l'Institut de Mathématiques de Bordeaux (IMB), bâtiment A33,
Université Bordeaux 1, 351 cours de la Libération 33405 TALENCE

Objet de la rencontre : présenter quelques travaux récents dans le domaine des équations aux dérivées partielles non-linéaires issues de la physique mathématique

Contact organisation : Rafik Imekraz (rafik.imekraz[à]math.u-bordeaux1.fr)

Soutiens de la rencontre : CNRS, GDR DynQua, GDR EDP, Institut de Mathématiques de Bordeaux (IMB), Université de Bordeaux I

Programme à venir :

Jeudi 12 septembre 2013

15h00-15h50 : Evelyne Miot

16h00-16h30 : pause

16h30-17h20 : Sandrine Grellier

17h30-18h20 : Rafik Imekraz

19h45 : dîner

Vendredi 13 septembre 2013

9h00-9h50 : Ramona Anton

10h00-10h20 : pause

10h20-11h10 : Florian Mehats

11h20-12h10 : Erwan Faou

12h30 : déjeuner

Participants :

Nom	Prénom	Provenance
Anton	Ramona	Paris VI
Bachelot	Alain	Bordeaux
Bouthelja	Mouddafhar	Nantes
Bruneau	Vincent	Bordeaux
El Maati	Ouhabaz	Bordeaux
Faou	Erwan	INRIA, Rennes
Grébert	Benoît	Nantes
Grellier	Sandrine	Orléans
Imekraz	Rafik	Bordeaux
Mehats	Florian	Rennes
Miot	Evelyne	CNRS, Paris XI
Paturel	Eric	Nantes

Informations pratiques : comment venir à l'IMB ? On prendra garde au fait que l'Université de Bordeaux 1 est dans la ville de Talence et non Bordeaux, de plus la ville de Bordeaux a aussi un « cours de la libération » ! On pourra aussi consulter le site du réseau de transports (tram et bus) http://www.infotbc.com/.

Logement : les participants seront logés pour la nuit du 12 au 13 septembre à l'Hôtel Victoria Garden (05 56 33 48 48) situé au 127, cours de la Somme 33 800 Bordeaux.
La réception de l'Hôtel est ouverte après 13h30 et les participants pourront y déposer leurs bagages (même si la chambre est indisponible).
Comme point de repère, l'hôtel est à proximité de la place Victoire (arrêt de Tramway de la ligne B).
Pour venir à l'IMB à partir de l'hôtel, il y a une solution simple qui prend une vingtaine de minutes :
remonter le cours de la Somme jusqu'à la place Victoire, prendre le tramway de la ligne B en direction de Pessac, s'arrêter à Forum, l'Université de Bordeaux est à 7 min à pied en continuant dans la direction du tramway

Dîner : le repas aura lieu au restaurant ''Le petit mignon" à 19h45, situé au 33, rue Saint-Rémi 33000 Bordeaux (téléphone : 05 56 81 06 83).

A partir de l'hôtel, il y a deux solutions (qui prennent une vingtaine de minutes chacune) pour rejoindre le restaurant :
Solution 1 (à pied)
remonter le cours de la somme pour arriver à la place Victoire,
remonter presque entièrement la rue Sainte-Catherine (plus longue rue commerçante d'Europe avec 1250m),
au niveau du McDonald's (pas celui de la place Victoire!), tourner à droite à la rue Saint-Rémi ,
Solution 2 (en tramway)
remonter le cours de la somme pour arriver à la place Victoire,
prendre le tramway B (direction Claveau) pour s'arrêter à l'arrêt ``Grand Théâtre'',
rejoindre l'Apple-Store et descendre un peu la rue Sainte-Catherine,
tourner à gauche à la rue Sainte-Catherine.

Titre et résumé des exposés

Sandrine Grellier :
Résolution complète d'un double problème spectral inverse pour des opérateurs de Hankel compacts :

On établit un théorème spectral inverse pour les opérateurs de Hankel compacts. Dans le cas d'opérateurs de Hankel auto-adjoints compacts et pour des valeurs propres simples, le résultat s'énonce de la manière suivante: étant données deux suites de nombres réels distincts tendant vers 0 et dont les termes sont intercalés en valeur absolue, il existe un unique symbole réel tel que l'opérateur de Hankel et l'opérateur de Hankel décalé possèdent respectivement ces suites comme valeurs propres. Ce symbole est décrit explicitement.
Pour une suite de nombres positifs non nécessairement distincts deux à deux, on obtient une description complète des symboles des opérateurs de Hankel compacts ayant pour valeurs singulières cette suite (les répétitions éventuelles dans la suite correspondent à la multiplicité des valeurs singulières).
Ces résultats nous permettent d'établir des propriétés qualitatives sur la dynamique d'un système hamiltonien complètement intégrable: l'équation de Szegö cubique.
Travail effectué en collaboration avec Patrick Gérard (université Paris sud). "

Rafik Imekraz
Autour des équations semi-linéaires de Klein-Gordon sur une variété compacte :

On se propose de faire un panorama des résultats connus pour les temps d'existence (ou plutôt de bornitude) pour les petites solutions des équations semi-linéaires de Klein-Gordon dans des espaces de Sobolev H^s de grande régularité.
Pour une non-linéarité semi-linéaire d'ordre n+1 et une solution d'ordre epsilon, la méthode d'existence locale montre que le temps minimal de bornitude est epsilon^{-n}.
Beaucoup de travaux ont montré que l'on peut considérablement augmenter ce temps jusqu'à epsilon^{-An} pour tout A>1 lorsque les valeurs propres du laplacien sont bien séparées (typiquement des sphères ou des variétés de Zoll dans les travaux de Bambusi, Bourgain, Delort, Grébert, Szeftel).
Dans le cas où la séparation des valeurs propres est moins bonne mais avec un certain contrôle, Delort a introduit une nouvelle argumentation de petits diviseurs qui suggère que le temps de bornitude est au moins epsilon^{-An} pour un A>1 explicitement calculable (on ignore si tout A>1 est convenable). Cette stratégie a déjà été employée sur le tore par Delort et Zhang. En utilisant des estimées multilinéaires que Delort et Szeftel ont introduites dans les cas à spectre séparé, on montre comment l'argumentation de Delort permet de traiter les cas où toutes les valeurs propres sont des entiers (par exemple des produit de sphères ou des groupes de Lie, à coefficient multiplicatif près du spectre).

Erwan Faou
Trois lemmes liés à la turbulence faible :

Dans cet exposé, j'essaierai de montrer quelques problèmes mathématiques issus de la théorie de la "turbulence d'ondes" à la Kolmogorov-Zakharov. Je tenterai de montrer quelles difficultés cela soulève, puis discuterai d'un résultat obtenu en collaboration avec P. Germain et Z. Hani (tous les deux de New-York university) qui étudie un passage à la "limite continue" pour l'équation de Schrödinger nonlinéaire sur un grand tore avec des données petites. On verra que ça permet de trouver des solutions de NLS (sur un tore fixe) d'un nouveau genre par rapport aux solutions "proches d'un petit tore" (à la Kuksin-Pöschel) et "à la CKSTT".
Si j'ai le temps je parlerai de trois outils qu'on utilise et qui ont un intérêt assez général :
- Formes normales pour justifier le système résonant: ça grosso modo on connaît mais le scaling est original
- Limite continue du système résonant: ça c'est de l'arithmétique
- Estimations a posteriori liée aux estimations de Strichartz: ça c'est juste dur!

Evelyne Miot
Existence globale et propagation des moments pour une équation de Vlasov-Poisson avec une charge ponctuelle :
On considère un système couplé de type Vlasov-Poisson en dimension trois, introduit par Caprino et Marchioro pour décrire l'interaction d'un ensemble de particules électriques légères (un plasma) avec une charge ponctuelle lourde. Cette dernière est à l'origine d'un champ de force additionnel s'exerçant sur le plasma, fortement singulier au voisinage de la charge.
On présente un résultat d'existence globale d'une solution faible pour laquelle la densité de plasma possède des moments en vitesse d'ordre plus grand que 6 pour tout temps, ce qui étend à ce cadre singulier le résultat démontré par Lions et Perthame pour l'équation de Vlasov-Poisson usuelle. On démontre également que la croissance des moments est au plus polynomiale en temps.
Il s'agit d'un travail en collaboration avec L. Desvillettes (CMLA, ENS Cachan) et C. Saffirio (Institut Hausdorff, Bonn).

Ramona Anton
Sur le minimiseur de l'énergie de Ginzburg Landau à l'extérieur de la boule unité dans R^3 :
On démontre l'existence et l'unicité du minimiseur de l'énergie de Ginzburg Landau à l'extérieur de la boule unité dans R^3 sous la condition de Dirichlet au bord. Tout minimiseur est à symétrie radiale et la preuve de l'unicité repose sur des arguments d'ODE, comme la méthode de tire et le théorème de Sturm-Liouville. On obtient aussi la stabilité orbitale du minimiseur.