Calcul stochastique discret et finance [L3 MASS]



Processus stochastiques discrets, applications au calcul financier



Module Ouvert - Sixième semestre
Charge planifiée : Cours : 20 heures, TD : 20 heures

Enseignants : P. Del Moral , M. Miniconi
( Lab. J.A. Dieudonné, Bureau numéro 2W 603, Horaire de bureau [Licence MASS 3] : les vendredis de 14h à 16h)


Objectif du Cours

Ce cours propose une introduction élémentaire à la modélisation probabiliste, et à ses applications en mathématiques financières. Il s'articule essentiellement autour de deux axes principaux. La première partie offre un exposé synthétique des principaux éléments de la théorie des probabilités, et celle des processus aléatoires. La seconde partie porte sur la modélisation, et l'analyse probabiliste de problèmes issus de la finance, tels la gestion de portefeuilles, le calcul des prix, et de couvertures d'options financières.
Chaque partie est développée selon un ordre de difficulté croissant. Pour des raisons pédagogiques, nous avons néanmoins choisi de restreindre cet exposé à l'étude des mesures de probabilités, et des processus aléatoires, sur des espaces finis. Cette approche nous permet de contourner la théorie de l'intégration de Lebesgue sur laquelle est édifiée la théorie générale des probabilités.

Dans une premierère partie introductive, nous rappelons brièvement les principales notions de la théorie des probabilités, telles les notions de variables aléatoires, les propriétés d'indépendance entre évènements, ainsi que le conditionnement en des évènements, des partitions, ou plus généralement, en des algèbres ensemblistes.

La seconde partie du cours concerne l'étude des processus aléatoires à valeurs dans des espaces finis. Nous examinerons tout d'abord les interprétations arborescentes de ces modèles. Ces représentations graphiques permettent notament de visualiser l'évolution d'un processus aléatoire entre chaque noeud d'un arbre d'épreuves. Nous étudierons par la suite les notions de filtrations d'algèbres sur l'ensemble des évènements. Ces objets mathématiques permettent de modéliser l'information portée par une évolution aléatoire. Nous examinerons enfin les décompositions canoniques de processus aléatoires abstraits, par rapport à une filtration d'algèbres donnée.

La troisième partie est l'un des axes principaux de ce cours. Nous présenterons de facon synthétique les principaux éléments de la théorie des martingales. Nous étudierons tout d'abord les notions de compensateurs quadratiques ``caractérisant''les tendances locales des carrés de martingales. Nous examinerons ensuite la construction de martingales, à conditions terminales fixées. Ces résultats fondamentaux seront utilisés dans le chapitre suivant sur le mathématiques financières, pour ``neutraliser'' des marchés financiers. Après une étude des martingales exponentielles, intervenant dans la modélisation des évolutions d'actifs financiers, nous développerons une classe de stratégies de controle de martingales issus de la théorie des jeux. Ces techniques seront par la suite essentielles pour la simulation, et la couverture d'options financières.

La partie finale est consacrée aux mathématiques financières. Nous présentons tout d' abord un dictionnaire plus ou moins exhaustif des principales notions de la finance, en soulignant leurs liens avec les modèles probabilistes étudiés dans les précédentes partie du cours. Nous avons choisi de restreindre cet exposé à l'étude des problèmes de calculs de prix d'options financières, et les stratégies de couverture. Nous commencerons par l'étude d'un modèle d'évolution de prix d'actifs binomial, sur une, puis sur deux périodes. Ces études élémentaires permettent de souligner les stratégies d'arbitrage, et la nature probabiliste des modèles de marchés viables. Nous examinerons ensuite en détail le modèle homogéne et binomial de Cox-Ross-Rubinstein, en précisant ses liens avec le modèle de Black and Scholes. La dernière partie de ce cours offre une analyse mathématique rigoureuse et détaillée des marchés financiers complets, et des stratégies de couvertures d'options.


Sommaire


Travaux dirigés



Bibliographie



Quelques sites internet